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    精英家教网如图，A，B，C是直线l上三点，P是直线l外一点，已知AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，记∠PBA=θ，则
    PA
    •
    PC
    =
     
    ．（用a表示）
    分析：三角形ABP是直角三角形，求出|
    PA
    |    、|
    PB
    |    ，再有正弦定理求|
    PC
    |    ，结合余弦定理，求出θ的余弦值，求数量积即可．
    解答：解：|
    PA
    |    =asinθ，|
    PB
    |    =acosθ，|
    PC
    |    =sin(π-θ)
    a
    sin45°
    =
    		2
    asinθ    ，
    且|
    PC
    |    2    =|
    PB
    |    2    +|
    BC
    |    2    -2|
    PB
    ||
    BC
    |cos(π-θ)    =a2+a2cos2θ+2a2cos2θ
    =a2+3a2cos2θ，∴2a2sin2θ=a2+3a2cos2θ，
    解得sin2θ=
    4
    5
    ，
    则
    PA
    •
    PC
    =|
    PA
    ||
    PC
    |cos135°= -
    		2
    a2sin2θ 
    		2
    2
    =-
    4
    5
    a2    ，
    故答案为：-
    4
    5
    a2    ．
    点评：本题考查平面向量数量积，正弦定理，余弦定理等知识，是综合题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在三棱锥A-BOC中，AO⊥面BOC，二面角B-AO-C是直二面角，OB=OC，∠OAB=
    π6
    ，斜边AB=4，动点D在斜边AB上．
    （1）求证：平面COD⊥平面AOB；
    （2）当D为AB的中点时，求：异面直线AO与CD所成角大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图：五面体A-BCC1B1中，AB1=4，△ABC 是正三角形，AB=2，四边形  BCC1B1是矩形，二面角A-BC-C1为直二面角，D为AC的中点．
    （1）求证：AB1∥平面BDC1；
    （2）求二面角C-BC1-D的大小；
    （3）若A、B、C、C1为某一个球面上的四点，求该球的半径r．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′=O′A′=1，O′B′=
    12
    ，以△ABC为底面构造一个侧棱等于2的直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱垂直底面），则此三棱柱的体积为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源：黑龙江龙东地区2011-2012学年高二上学期高中教学联合体期末考试数学理科试题 题型：013

    如图，已知A1B1C1－ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是

    [　　]

    A．

    B．

    C．

    D．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本题满分12分）如图，五面体A－BCC1B1中，AB1＝4，底面ABC是正三角形，AB＝2，四边形BCC1B1是矩形，二面角A－BC－C1为直二面角，D为AC中点.

    （1）求证：AB1∥面BDC1；（2）求二面角C－BC1－D的大小；

    （3）若A、B、C、C1为某一个球面上四点，求球的半径.

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