Question

设b＞0，椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，抛物线方程为y=

1

8

x2+b，如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G处的切线经过椭圆的右焦点F₁．
（1）求点G和点F₁的坐标（用b表示）；
（2）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（3）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

Answer 1

分析：（1）直接可以写出；
（2）利用抛物线在点G处的切线经过椭圆的右焦点F₁可以求得；
（3）将直角关系转化为数量积为0，从而求出满足条件的三角形的个数．

解答：解：（1）G点的坐标为（4，b+2）…（2分）
由椭圆方程得F₁点的坐标为（2-b，0）
（2）由y=

1

8

x2+b得，y′=

1

4

x，y'|_x=4=1，…（2分）
过点G的切线方程为y-（b+2）=x-4即y=x+b-2…（2分）F₁点的坐标（b，0）代入得b=1
即椭圆和抛物线的方程分别为

x2

2

+y2=1和y=

1

8

x2+1；…（2分）
（3）∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个，
同理：以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个．…（2分）
若以∠APB为直角，设P点坐标为(x，

1

8

x2+1)，A、B两点的坐标分别为(-

2

，0)和(

2

，0)，

PA

•

PB

=x2-2+(

1

8

x2+1)2=

1

64

x4+

5

4

x2-1=0．
关于x²的二次方程有一大于零的解，∴x有两解，
即以∠APB为直角的Rt△ABP有两个，…（2分）
因此抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形．…（1分）

点评：本题综合性强，解题时应注意充分利用条件，将解析几何与导数、向量巧妙地结合起来