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精英家教网设b>0,椭圆方程为
x2
2b2
+
y2
b2
=1
,抛物线方程为y=
1
8
x2+b
,如图所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G处的切线经过椭圆的右焦点F1
(1)求点G和点F1的坐标(用b表示);
(2)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(3)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
分析:(1)直接可以写出;
(2)利用抛物线在点G处的切线经过椭圆的右焦点F1可以求得;
(3)将直角关系转化为数量积为0,从而求出满足条件的三角形的个数.
解答:解:(1)G点的坐标为(4,b+2)…(2分)
由椭圆方程得F1点的坐标为(2-b,0)
(2)由y=
1
8
x2+b
得,y′=
1
4
x
,y'|x=4=1,…(2分)
过点G的切线方程为y-(b+2)=x-4即y=x+b-2…(2分)F1点的坐标(b,0)代入得b=1
即椭圆和抛物线的方程分别为
x2
2
+y2=1
y=
1
8
x2+1
;…(2分)
(3)∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个,
同理:以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个.…(2分)
若以∠APB为直角,设P点坐标为(x,
1
8
x2+1)
,A、B两点的坐标分别为(-
2
,0)
(
2
,0)
PA
PB
=x2-2+(
1
8
x2+1)2=
1
64
x4+
5
4
x2-1=0

关于x2的二次方程有一大于零的解,∴x有两解,
即以∠APB为直角的Rt△ABP有两个,…(2分)
因此抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形.…(1分)
点评:本题综合性强,解题时应注意充分利用条件,将解析几何与导数、向量巧妙地结合起来
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精英家教网设b>0,椭圆方程为
x2
2b2
+
y2
b2
=1
,抛物线方程为x2=8(y-b).如图所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).

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第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经

过椭圆的右焦点.

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;

(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在

抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?

若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由

(不必具体求出这些点的坐标).

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(本小题满分14分)设b>0,椭圆方程为,抛物线方程为。如图所示,过点F(0,b + 2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G。已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;

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