Question

设b＞0，椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，抛物线方程为x²=8（y-b）．如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F₁．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

Answer 1

分析：（1）先求出G点的坐标，利用导数求出过点G的切线斜率，得到过点G的切线方程，根据由切线方程求得的F₁点的坐标，与用椭圆方程得F₁点的坐标应该相同，求出b，椭圆和抛物线的方程可得．
（2）以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个，以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个，以AB为直径的圆与抛物线有两个交点，根据直径对的圆周角等于直角，以∠APB为直角的Rt△ABP有两个．所以，共得到4个直角三角形．

解答：解：（1）由x²=8（y-b）得y=

1

8

x2+b，
当y=b+2得x=±4，∴G点的坐标为（4，b+2），y′=

1

4

x，y'|_x=4=1，
过点G的切线方程为y-（b+2）=x-4即y=x+b-2，
令y=0得x=2-b，∴F₁点的坐标为（2-b，0），由椭圆方程得F₁点的坐标为（b，0），
∴2-b=b即b=1，即椭圆和抛物线的方程分别为

x2

2

+y2=1和x²=8（y-1）；（7分）
（2）∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个，
同理∴以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个；
若以∠APB为直角，则点P在以AB为直径的圆上，而以AB为直径的圆与抛物线有两个交点．
所以，以∠APB为直角的Rt△ABP有两个；
因此抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形．（15分）

点评：本题考查利用导数求切线的斜率，待定系数法求椭圆和抛物线的方程，体现了分类讨论的数学思想．