Question

16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosC+c-2b=0．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=1，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化简已知等式，整理得c²+b²-a²=bc，可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，即可得解A的值．
（2）由（1）可求sinA，由正弦定理可得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可求△ABC的周长l=2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1．由0$＜B＜\frac{2π}{3}$，利用正弦函数的性质可求周长的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由已知2acosC+c-2b=0，
由余弦定理得：2a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+c-2b=0，…（2分）
整理得c²+b²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．…（5分）
（2）∵cosA=$\frac{1}{2}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（6分）
由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，…（7分）
△ABC的周长：l=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（B+$\frac{π}{3}$）]=2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1．…（10分）
∵0$＜B＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，…（11分）
因此2＜l≤3，故△ABC的周长的取值范围为：（2，3]．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．