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设函数.
(I)求函数的最小值;
(Ⅱ)若,且,求证:
(Ⅲ)若,且
求证:.
解:(I)

,得,所以递减,在递增.
所以.
(Ⅱ)


由(I)知当时,
,∴
.
(Ⅲ)用数学归纳法证明如下:1°当时,由(Ⅱ)可知,不等式成立;
2°假设()时不等式成立,
即若,且时,
不等式成立
现需证当()时不等式也成立,
即证:若,且时,不等式
成立.
证明如下:设,则


......①
同理
     .....②
由①+②得:

又由(Ⅱ)令,则,其中
则有


∴当时,原不等式也成立.
综上,由1°和2°可知,对任意的原不等式均成立.
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