Question

11．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4．
（I）求证：平面PBD⊥平面ABCD；
（II）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理，只要证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，从图可看出，只要证PO⊥平面ABCD即可．
（2）设平面PDC的法向量为$\vec n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，直线CB与平面PDC所成角θ，求出一个法向量为，可得 $\overrightarrow{n}$ 和 $\overrightarrow{CB}$ 夹角的余弦值，即为直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

解答 证明：（1）设O是BD的中点，连接AO，
∵△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，∴PB=PD=2，
又BO=OD，∴PO⊥BD．
∵AB⊥AD，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴OB=$\sqrt{2}$．
在Rt△POB中，由勾股定理可得，PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABD中，AO=$\frac{1}{2}BD$=$\sqrt{2}$．
在△PAO中，PO²+OA²=4=PA²，由勾股定理得逆定理得PO⊥AO．
又∵BD∩AF=O，
∴PO⊥平面ABCD．
∵PO?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
∴过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0），C（1，3，0），P（0，0，$\sqrt{2}$）
则$\overrightarrow{PD}=（1，-1，-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{PC}=（1，3，-\sqrt{2}）$．
设平面PDC的法向量为$\vec n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，直线CB与平面PDC所成角θ，
则$\left\{\begin{array}{l}\vec n\overrightarrow{•PC}=0\\ \vec n\overrightarrow{•PD}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+3{y_1}-\sqrt{2}{z_1}=0\\{x_1}-{y_1}-\sqrt{2}{z_1}=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\{x_1}=\sqrt{2}{z_1}\end{array}\right.$，令z₁=1，
则平面PDC的一个法向量为$\vec n=（\sqrt{2}，0，1）$，又$\overrightarrow{CB}=（-2，-2，0）$，
则$sinθ=|{cos＜\vec n，\overrightarrow{CB}＞}|=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}×2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判断以及线面角的求解，根据相应的判定定理以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决线面角的常用方法．