Question

【题目】设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，.

（1）求,的通项公式；

（2）设，，若，，成等差数列（、为正整数且），求和的值；

（3）设为数列的前项和，是否存在实数，使得对一切均成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）存在，最大值为，理由见解析

【解析】

（1）由题可设数列的公差为，的公比为,可得,即可求出,从而可求得与的通项公式；

（2）由可求得的表达式,结合，，成等差数列,可得,进而可求得的等式关系,结合的取值范围,可求出答案;

（3）先求出的表达式,将与代入不等式中,可得对一切成立,即求在的最小值即可.

（1）依题意,设数列的公差为，的公比为,

则，解得，，.

（2），

依题意,，则（、为正整数且）,

化简得：，又,得，解得,

，

因为为正整数,，所以，

即，此时.

（3）依题意：,

则对一切成立,

即对一切成立,

即求在的最小值,

设时,取得最小值,

则,

即,

解得,即.

故在的最小值为.

所以存在最大值为满足题意.