Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+

k

2

x²（k≥0）．
（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；
（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．

解答：解：（I）当K=2时，f(x)=ln(1+x)-x+x2，f′(x)=

1

1+x

-1+2x
由于f(1)=ln(2)，f′(1)=

3

2

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
y-ln2=

3

2

(x-1)．即3x-2y+2ln2-3=0
（II）f'（x）=

x(kx+k-1)

1+x

，x∈(-1，+∞)
当k=0时，f′(x)=-

x

1+x

因此在区间（-1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）；
当0＜k＜1时，f′(x)=

x(kx+k-1)

1+x

=0，得x1=0，x2=

1-k

k

 ＞0；
因此，在区间（-1，0）和(

1-k

k

，+∞)上，f'（x）＞0；在区间(0， 

1-k

k

 )上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为（-1，0）和(

1-k

k

，+∞)，单调递减区间为（0，

1-k

k

）；
当k=1时，f′(x)=

x2

1+x

．f（x）的递增区间为（-1，+∞）
当k＞1时，由f′(x)=

x(kx+k-1)

1+x

=0，得x1=0，x2=

1-k

k

∈(-1，0)；
因此，在区间(-1，

1-k

k

)和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间(

1-k

k

，0)上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为(-1，

1-k

k

)和（0，+∞），单调递减区间为(

1-k

k

，0)．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．