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    圆心为I的△ABC的内切圆分别切边AC、AB于点E、F．设M为线段EF上一点，证明：△MAB与△MAC面积相等的充分必要条件是MI⊥BC．
    考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
    专题：立体几何
    分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合三角形的面积之间关系以及圆的相关知识，即可得到结论．
    解答： 证明：过点M作MP⊥AC、MQ⊥AB，垂足分别为P、Q．圆I切边BC于点D，
    则ID⊥BC，IF⊥AB，IE⊥AC．
    显然AF=AE，
    ∴∠AFM=∠AEM，
    从而推知Rt△QFM：Rt△PEM，得
    MQ
    MP
    =
    MF
    ME
    ．
    又 
    S△MAB
    S△MAC
    =
    1
    2
    MQ•AB
    1
    2
    MP•AC
    =
    MQ•AB
    MP•AC
    =
    MF
    ME
    •
    AB
    AC
    ，
    ∴△MAB与△MAC面积相等的充要条件是
    AB
    AC
    =
    ME
    MF
    ．①
    由①可知，问题转化为证明：
    AB
    AC
    =
    ME
    MF
    的充分必要条件是MI⊥BC．
    首先证明：若MI⊥BC，则
    AB
    AC
    =
    ME
    MF
    ．由MI⊥BC可知点M在直线ID上．
    ∵B、D、I、F四点共圆，
    ∴∠MIF=∠DBF=∠B，∠MIE=∠ECD=∠C．
    又 IE=IF，则由正弦定理得
    MF
    sin∠MIF
    =
    FI
    sin∠IMF
    =
    IE
    sin(π-∠IMF)
    =
    ME
    sin∠MIE
    ，
    即 
    ME
    MF
    =
    sinC
    sinB
    ，而
    AB
    AC
    =
    sinC
    sinB
    ．
    ∴
    AB
    AC
    =
    ME
    MF
    ．
    其次证明：若
    AB
    AC
    =
    ME
    MF
    ，
    则MI⊥BC．设直线ID与EF交于点M'，
    则由上述证明可知
    AB
    AC
    =
    M′E
    M′F
    ，
    于是有
    AB
    AC
    =
    M′E
    M′F
    ，从而 M与M’重合．
    故命题成立．
    点评：本题主要考查与圆的有关的几何证明，难度较大，综合性较强．
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    CP
    •
    CA
    =
    CP
    •
    CB
    ．
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    x2
    a2
    -
    y2
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    		5
    2
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