Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）当x∈[0，

π

4

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

（sinx）²+sinxcosx=2cosx（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）-

3

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x
=sinxcosx+

3

1-cosx

2

-

3

2

+

3

cos2x

2

+

sin2x

2

=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）
（1）因为T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π，所以函数的最小正周期是π．
（2）y=sinx的单调增区间是[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]k∈Z，则函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx
即：2sin（2x+

π

3

）的单增区间：2x+

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
解得x∈[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）
（3）x∈[0，

π

4

]，则2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，所以2sin（2x+

π

3

）∈[

1

2

，1]
所以函数的值域为：[

1

2

，1]．