Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点B到平面AB₁C的距离为（　　）

• A．

  6

  2

  a
• B．

  3

  2

  a
• C．

  3

  3

  a
• D．

  a

  3

Answer 1

分析：根据正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，算出三棱锥B₁-ABC的体积为

1

6

a3，且正三角形AB₁C的面积为

3

2

a2，由此利用等体积转换得V_{三棱锥B1-ABC}=V_{三棱锥B-AB1C}=

1

6

a2，建立关于d的等式即可解出B到平面AB₁C的距离．

解答：解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a
∴三棱锥B₁-ABC的体积为
V=

1

3

S_△ABC•BB₁=

1

3

×

1

2

a2×a=

1

6

a3
∵正三角形AB₁C的边长为

2

a
∴S △AB1C=

3

4

•(

2

a)2=

3

2

a2
设点B到平面AB₁C的距离为d，
则V_{三棱锥B1-ABC}=V_{三棱锥B-AB1C}=

1

6

a2
即

1

3

×S △AB1C×d=

1

6

a3，得

3

6

a²d=

1

6

a3，解之得d=

3

3

a
即点B到平面AB₁C的距离为

3

3

a
故选：C

点评：本题在正方体求点B到平面AB₁C的距离．着重考查了正方体的性质、正三角形面积公式和利用等体积转换的方法求点面距离等知识，属于中档题．