Question

8．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，且四边形ABCD为菱形，F为棱BB₁的中点，N为线段AC₁的中点．
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）延长C₁F交CB的延长线于点M，由三角形的中位线的性质可得NF∥AM，从而证明NF∥平面ABCD．
（2）由A₁A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC₁A₁，由DAMB为平行四边形，故MA∥BD，故MA⊥平面ACC₁A₁，从而证得平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

解答 证明：（1）延长C₁F交CB的延长线于点M，连接AM．
∵F是BB₁的中点，∴F为C₁M的中点，B为CM的中点．
又N是线段AC₁的中点，故NF∥AM．
又NF?平面ABCD内，AM?平面ABCD，
∴NF∥平面ABCD．
（2）连BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，可知A₁A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．
又∵AC∩A₁A=A，AC，A₁A?平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
在四边形DAMB中，DA∥BM且DA=BM，∴四边形DAMB为平行四边形，
故MA∥BD，∴MA⊥平面ACC₁A₁，
又∵MA?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查平面与平面垂直的判断，考查推理分析与运算能力，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题．