Question

17．已知正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点．
（1）在三角形内部随机取一点P，求满足|PB|≥1且|PC|≥1的概率；
（2）在A、B、C、D、E、F这6点中任选3点，记这3点围成图形的面积为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）根据几何概型的计算公式，求出满足条件|PB|≥1且|PC|≥1的概率值即可；
（2）根据题意，求出3点围成图形的面积ξ的可能取值以及对应的概率值，列出ξ的分布列，计算数学期望Eξ的值．

解答 解：（1）如图所示，
分别以正△ABC的顶点B、C为圆心，以1为半径画圆弧，交边AB、BC、AC于点F、D、E；
则点P在区域①时满足条件|PB|≥1且|PC|≥1，
其概率为P=1-$\frac{{S}_{①}{+S}_{②}}{{S}_{△}}$=1-$\frac{π{•1}^{2}×\frac{\frac{2}{3}π}{2π}}{\frac{\sqrt{3}}{4}{×2}^{2}}$=1-$\frac{\sqrt{3}π}{9}$；
（2）在A、B、C、D、E、F这6点中任选3点，共有20种不同的取法；
记这3点围成图形的面积为ξ，则ξ=0，$\frac{1}{4}$S_△，$\frac{1}{2}$S_△，S_△；其中S_△=$\sqrt{3}$；
P（ξ=0）=$\frac{3}{20}$，P（ξ=$\frac{1}{4}$S_△）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{3}^{1}+1}{20}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=$\frac{1}{2}$S_△）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{3}^{1}-3}{20}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=S_△）=$\frac{1}{20}$；
所以随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	$\frac{\sqrt{3}}{4}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\sqrt{3}$
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{20}$

数学期望Eξ=0×$\frac{3}{20}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{10}$+$\sqrt{3}$×$\frac{1}{20}$=$\frac{13\sqrt{3}}{40}$．

点评 本题考查了利用古典概型的概率计算公式求几何概率及其分布列和数学期望，正确求出试验的全部结果所构成的区域的面积和长度以及要求的事件的区域的面积和长度是解题的关键．