Question

6．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．

Answer 1

分析 利用x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：$y=-\frac{4}{3}（x-2）$，
令y=0，可得M点的坐标为（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．

解答 解：曲线C的极坐标方程可化为ρ²=2ρsinθ．又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2y=0．
将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：$y=-\frac{4}{3}（x-2）$，
令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C的圆心坐标为（0，1），
半径r=1，则$|{MC}|=\sqrt{5}$，
∴$|{MN}|≤|{MC}|+r=\sqrt{5}+1$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．