Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{|x+2|+|6-x|-m}$的定义域为R．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若实数m的最大值为n，正数a，b满足$\frac{8}{3a+b}$+$\frac{2}{a+2b}$=n，求2a+$\frac{3}{2}$b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意得，定义域为R即|x+2|+|6-x|-m≥0恒成立，所以利用不等变换求出|x+2|+|6-x|的最小值，即可求出m的范围；
（2）由（10可知n=m_max，求出a，b的关系式，化简求出2a+$\frac{3}{2}$b的最小值．

解答 解：（1）由题意，得|x+2|+|6-x|-m≥0在R上恒成立，即m≤|x+2|+|6-x|恒成立．
因为|x+2|+|6-x|≥|（x+2）+（6-x）|=8（当且仅当（x+2）（6-x）≥0即-2≤x≤6时等号成立），
所以m∈（-∞，8]；
（2）由（1）知n=8，
所以$\frac{8}{3a+b}+\frac{2}{a+2b}=8$，
$2a+\frac{3}{2}b=\frac{1}{2}[{（{3a+b}）+（{a+2b}）}]=\frac{1}{16}[{（{3a+b}）+（{a+2b}）}]（\frac{8}{3a+b}+\frac{2}{a+2b}）$$≥\frac{1}{16}{（\sqrt{3a+b}•\sqrt{\frac{8}{3a+b}}+\sqrt{a+2b}•\sqrt{\frac{2}{a+2b}}）^2}=\frac{1}{16}（3\sqrt{2}{）^2}=\frac{9}{8}$
（当且仅当$\left\{{\begin{array}{l}{a=3b}\\{\frac{8}{3a+b}+\frac{2}{a+2b}=8}\end{array}}\right.即\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{9}{20}}\\{b=\frac{3}{20}}\end{array}}\right.时等号成立$），
所以$2a+\frac{3}{2}b$的最小值是$\frac{9}{8}$．

点评 本题主要考察含绝对值不等式与基本等式，解题关键是将题目转化为恒成立问题，以及变形为柯西不等式形式，难度较大．