Question

20．若x²-xy+y²=1（x，y∈R），则x²+2y²的最小值为$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由x²-xy+y²=1（x，y∈R），x=0时，y²=1，可得：x²+2y²=2．x≠0时，x²+2y²=$\frac{{x}^{2}+2{y}^{2}}{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$=$\frac{1+2{t}^{2}}{1-t+{t}^{2}}$=f（t），令$\frac{y}{x}$=t∈R．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵x²-xy+y²=1（x，y∈R），
x=0时，y²=1，∴x²+2y²=2．
x≠0时，x²+2y²=$\frac{{x}^{2}+2{y}^{2}}{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$=$\frac{1+2{t}^{2}}{1-t+{t}^{2}}$=f（t），令$\frac{y}{x}$=t∈R．
则f′（t）=$\frac{-2{t}^{2}+2t+1}{（{t}^{2}-t+1）^{2}}$=$\frac{-2（t-\frac{1+\sqrt{3}}{2}）（t-\frac{1-\sqrt{3}}{2}）}{（{t}^{2}-t+1）^{2}}$，
∴当t=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$时，f（t）取得最小值，f（t）=$\frac{2t+2}{\frac{1}{2}+1}$，∴$f（\frac{1-\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{2×\frac{1-\sqrt{3}}{2}+2}{\frac{3}{2}}$=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$．
综上可得：x²+2y²的最小值为$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题查克拉利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．