Question

15．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}{\;}\end{array}\right.$（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求直线l与圆C的交点的极坐标；
（2）若P为圆C上的动点，求P到直线l的距离d的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把极坐标方程化为直角坐标方程，联立直角坐标方程解出即可得出．
（II）方法一：设P（2cosθ，2+2sinθ），利用点到直线的距离公式可得d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$$|\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）+1|$，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．
方法2：求出圆心C（0，2）到直线l的距离d，即可得出圆上的点到直线的距离的最大值为d+r．

解答 解：（Ⅰ）由直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）=2$\sqrt{2}$，化为：y-x=4．
圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}{\;}\end{array}\right.$（θ为参数），化为x²+（y-2）²=4．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{{x}^{2}+（y-2）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$，
对应的极坐标分别为（2$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），（4，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅱ）方法一：设P（2cosθ，2+2sinθ），
则d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$$|\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）+1|$，
当cos（θ+$\frac{π}{4}$）=1时，d取得最大值2+$\sqrt{2}$，
方法2：圆心C（0，2）到直线l的距离d=$\frac{|0-2+4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，圆的半径为2，
所以到直线l的距离d的最大值为2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆的交点、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．