Question

18．已知Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则$\frac{c+2h}{a+b}$的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 设A=θ，则h=bsinθ，a=btanθ，c=$\frac{b}{cosθ}$，代入所求，利用三角函数恒等变换的应用化简可得$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），根据角θ的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其范围．

解答 解：如图所示，
设A=θ，h=bsinθ，a=btanθ，c=$\frac{b}{cosθ}$．
∴$\frac{c+2h}{a+b}$=$\frac{\frac{b}{cosθ}+2bsinθ}{btanθ+b}$
=$\frac{1+2sinθcosθ}{sinθ+cosθ}$
=$\frac{（sinθ+cosθ）^{2}}{sinθ+cosθ}$
=sinθ+cosθ
=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（$θ+\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]．
∴$\frac{c+2h}{a+b}$的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．
故答案为：（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的平方关系、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．