Question

13．已知四棱锥E-ABCD的底面是平行四边形，BC=2，BD=$\sqrt{6}$，ED=4，EB=EC=$\sqrt{10}$，平面BCE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面EBC；
（Ⅱ）求三棱锥B-ADE的体积．

Answer 1

分析 （I）取BC的中点F，连接EF，利用勾股定理的逆定理得出BD⊥BE，利用面面垂直的性质得出EF⊥平面ABCD，故而EF⊥BD，从而得出BD⊥平面BCE；
（II）由（I）证明可知BD⊥BC，EF⊥平面ABD，故而V_B-ADE=V_E-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}$•EF．

解答 解：（Ⅰ）取BC的中点F，连接EF．
∵EB=EC，F为BC的中点，
∴EF⊥BC．又平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD=BC，
∴EF⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，
∴BD⊥EF．
∵BD=$\sqrt{6}$，BE=$\sqrt{10}$，DE=4，
∴BD²+BE²=DE²，∴BD⊥BE．
又BE?平面BCE，EF?平面BCE，BE∩EF=E，
∴BD⊥平面BCE．
（II）由（1）得EF⊥平面ABD．BD⊥BC．
∵EF=$\sqrt{B{E}^{2}-B{F}^{2}}$=3，S_△ABD=S_△BCD=$\frac{1}{2}BC•BD$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}$=$\sqrt{6}$．
∴V_B-ADE=V_E-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}$•EF=$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×3$=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．