Question

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f（x+3）-f（-x）=0，当x∈（0，1]时f（x）=x²-4x，则f（2015）+f（2016）=-3．

Answer 1

分析 根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可

解答 解：∵设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有f（x+3）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
∴函数f（x）是周期为6的周期函数，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=x²-4x，
∴f（0）=0，f（1）=2-1=1，f（2）=0，f（3）=-1，
∴f（2015）=f（335×6+5）=f（5）=-f（-5）-f（-5+6）=-f（1）=-3
f（2016）=f（6×336）=f（0）=0，
f（2015）+f（2016）=-3+0=-3
故答案为：-3

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．