Question

如图，函数f(x)＝x＋的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N．

(1)证明：|PM|·|PN|为定值；

(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）＋1

【解析】【解析】
(1)设P(x0，x0＋)(x0>0)，

则|PN|＝x0，|PM|＝＝，因此|PM|·|PN|＝1．

(2)连接OP，直线PM的方程为y－x0－＝－(x－x0)，

即y＝－x＋2x0＋，

解方程组

得x＝y＝x0＋，∴|OM|＝x0＋，

S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM

＝|PN|·|ON|＋|PM|·|OM|

＝x0(x0＋)＋ (x0＋)

＝＋ (＋)≥＋1．

当且仅当x0＝，即x0＝1时等号成立，因此四边形OMPN面积的最小值为＋1．