Question

已知边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，使D到P的位置．
（1）求直线PA与BC所成的角；
（2）若M为线段BC上的动点，当BM：BC为何值时，平面PAC与平面PAM所成的锐二面角为45°．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AC中点O，连接PO、OB，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，转化为向量与的夹角求解，注意与直线所成角的关系；
（2）设BM：BC=λ：1（0≤λ＜1），则=（-λ，λ，0）），=（1，1，0）+（-λ，λ，0）=（1-λ，1+λ，0），可求平面PAM的一个法向量，易知平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），
由题意知，|cos＜，＞|=，利用向量夹角公式可得关于λ的方程，解出即可；
解答：解：（1）取AC中点O，连接PO、OB，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，1），A（（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
=（0，-1，-1），=（-1，1，0），
cos＜，＞===-，
所以＜，＞=120°，直线PA与BC所成的角为60°；
（2）设BM：BC=λ：1（0≤λ＜1），则=（-λ，λ，0），=（1，1，0）+（-λ，λ，0）=（1-λ，1+λ，0），
设为平面PAM的一个法向量，则，，
所以，即，取，
平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），
当平面PAC与平面PAM所成的锐二面角为45°时，有|cos＜，＞|=，即=，
解得，
故当BM：BC为3-2时，平面PAC与平面PAM所成的锐二面角为45°．
点评：本题考查二面角的平面角及其求法、异面直线所成角，考查空间向量的运算，考查学生的推理论证能力．