Question

已知函数f(x)=

1+sinx+cosx+sin2x

1+sinx+cosx

，
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）在[0，2π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的定义域，可令1+sinx+cosx≠0，解出不等式的解集即为函数的定义域；
（2）首先进行三角函数的恒等变形，分子上应用二倍角公式，题公因式，约分整理出三角函数的最简形式，根据正弦曲线的单调性得到结果．

解答：解：f(x)=

1+sinx+cosx+sin2x

1+sinx+cosx

=

(sinx+cosx)2+sinx+cosx

1+sinx+cosx

=

(sinx+cosx)(1+sinx+cosx)

1+sinx+cosx

=sinx+cos=

2

sin（x+

π

4

）
（1）函数的定义域是1+sinx+cosx≠0
∴sinx+cosx≠-1，
∴sin（x+

π

4

）≠-

2

2

，
∴x+

π

4

≠2kπ+

5π

4

或2kπ+

7π

4

∴x≠2kπ+π或2kπ+

3π

2

∴函数的定义域是{x|x≠2kπ+π或2kπ+

3π

2

}
（2）∵正弦曲线的单调递减区间是[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]
∴x+

π

4

∈[[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]
∴x∈[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈z
即函数的单调递减区间是[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈z

点评：本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的单调区间和定义域，本题解题的关键是对函数式进行整理，这是解题的重中之重．