Question

已知a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若a=2，求f（x）在闭区间[0，4]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出f（2），再求出导数f'（x），从而求出f‘（2）即为切线的斜率，再用点斜式方程写出切线方程并化为一般式；
（2）首先求出导数f'（x），再求出函数f（x）的极值，注意范围[0，4]，列表说明，再把端点的函数值和极值比较即得最小值．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=2x³-6x²+6x，
导数f'（x）=6x²-12x+6，
所以f'（2）=6×2²-12×2+6=6，
又因为f（2）=2×2³-6×2²+6×2=4，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-4=6（x-2），即6x-y-8=0．
（2）当a=2时，f（x）=2x³-9x²+12x，
导数f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
令f'（x）=0，得x₁=1，x₂=2．

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）	4
f'（x）	12	+	0	-	0	+	36
f（x）	0	单调递增	极大值5	单调递减	极小值4	单调递增	32

比较f（0）、f（1）、f（2）、f（4）的大小可知f（0）最小，
故函数f（x）在闭区间[0，4]上的最小值是0．

点评：本题主要考查运用导数求某点处的切线方程以及求函数在闭区间上的最值问题，解题时要注意该点是不是切点，求得的极值点在不在给定的闭区间内，本题属于基础题．