Question

7．已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）=$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$．
（1）证明：2是函数f（x）的周期；
（2）当x∈[0，1）时，f（x）=x，求f（x）在x∈[-1，0）时的解析式，并写出f（x）在x∈[2k-1，2k+1）（k∈Z）时的解析式；
（3）对于（2）中的函数f（x），若关于x的方程f（x）=ax恰好有20个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x取x+1代入$f（x+1）=\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$化简后，由函数周期性的定义即可证明结论；
（2）由x∈[-1，0）得x+1∈[0，1），求出f（x+1）代入$f（x+1）=\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$化简后求出f（x），即可求出一个周期[-1，1）上的解析式，利用函数的周期性求出f（x）在x∈[2k-1，2k+1）（k∈Z）时的解析式；
（3）由（2）和函数的周期性画出f（x）的图象，将方程根的问题转化为图象的交点问题，根据图象和条件对a分类讨论，分别结合图象和条件列出不等式组求出a的取值范围．

解答 证明：（1）因为$f（x+1）=\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$，令x取x+1得，
所以$f（x+2）=\frac{1-f（x+1）}{1+f（x+1）}=\frac{{1-\frac{1-f（x）}{1+f（x）}}}{{1+\frac{1-f（x）}{1+f（x）}}}=f（x）$，
所以，2是函数f（x）的周期．      
解：（2）当x∈[-1，0）时，x+1∈[0，1），则f（x+1）=x+1，
又$f（x+1）=\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$，即$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}=x+1$，解得$f（x）=-\frac{x}{x+2}$．
所以，当x∈[-1，0）时，$f（x）=-\frac{x}{x+2}$．    
所以，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{x}{x+2}\;，\;x∈[-1\;，\;0）\;\\ x\;\;\;，\;x∈[0\;，\;1）\;.\end{array}\right.$
因为f（x）的周期为2，所以当x∈[2k-1，2k+1）（k∈Z）时，
f（x）=f（x-2k）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{x-2k}{x-2k+2}，x∈[2k-1，2k）}\\{x-2k，[2k，2k+1）}\end{array}\right.$，
（3）由（2）作出函数的图象，则方程f（x）=ax解的个数：
就是函数f（x）的图象与直线y=ax的交点个数．      
若a=0，则x=2k（k∈Z）都是方程的解，
不合题意． 
若a＞0，则x=0是方程的解．
要使方程恰好有20个解，在区间[1，19）上，f（x）有9个周期，每个周期有2个解，
在区间[19，21）上有且仅有一个解．
则$\left\{\begin{array}{l}19a＜1\;\\ 21a＞1\;\end{array}\right.$解得，$\frac{1}{21}＜a＜\frac{1}{19}$．
若a＜0，同理可得$-\frac{1}{19}＜a＜-\frac{1}{21}$．
综上，$a∈（{-\frac{1}{19}\;，\;-\frac{1}{21}}）∪（{\frac{1}{21}\;，\;\frac{1}{19}}）$．

点评 本题考查了函数周期性以及解析式，方程的根与函数图象交点之间的转化问题，考查了数形结合思想，推理能力与计算能力，属于难题．