Question

19．偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形（E、F是函数图象与x轴的交点，点G在图象上），则f（1）的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用函数的图象，由已知及两点间距离公式，勾股定理求出A，再求出函数的周期，确定ω，利用点（-2，0）在函数图象上，求出φ，得到函数的解析式，即可求解f（1）的值．

解答 解：因为△EFG是斜边为4的等腰直角三角形（E、F是函数图象与x轴的交点，点G在图象上），
所以|EF|=4，
因为：E（-6，0），F（-2，0），由题意可设G（0，y），利用勾股定理得：2$\sqrt{{y}^{2}+4}$=4²，解得：y=±2，即G点的纵坐标为-2，可得A=2，
因为T=$\frac{2π}{ω}$=2×4，所以ω=$\frac{π}{4}$，
因为点（-2，0）在函数图象上，可得：0=Asin（-2×$\frac{π}{4}$+φ），
所以：-2×$\frac{π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，又0＜φ＜π，所以解得：φ=$\frac{π}{2}$，
可得函数的解析式为：f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{2}$）=2cos$\frac{π}{4}$x，
所以f（1）=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力，属于中档题．