【题目】已知数列中,,其前项和满足:.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求证: ;
(3)设(为非零整数,),是否存在确定的值,使得对任意,有恒成立.若存在求出的值,若不存在说明理由.
【答案】(1).(2)证明见解析.(3)存在,
【解析】
(1)由变形为,即,再利用等差数列的定义求解.
(2)由(1)知,得到 ,然后利用裂项相消法求和再放缩即可.
(3)由,得到, 将对任意,都有恒成立,转化为恒成立,即恒成立. 再分为奇数和偶数两种情况讨论求解
(1)由已知可得,
即:且,
∴数列是以为首项,公差为的等差数列,
∴.
(2)由(1)知,
∴ ,
∴,
==,
=,
∵ ∴,
∴,
即 .
(3)∵,
∴,
假设存在确定的值,使得对任意,都有恒成立,
即,对任意恒成立,
即,对任意恒成立,
即:,对任意恒成立.
①当为奇数时,即恒成立,
当且仅当时,有最小值为,
∴,
②当为偶数时,即恒成立,
当且仅当时,有最大值,
∴,
即,
又为非零整数,则.
综上所述:存在,使得对任意,都有.
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【题目】近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资160万元,根据行业规定,每个城市至少要投资30万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入单位:万元满足,乙城市收益Q与投入单位:万元满足,设甲城市的投入为单位:万元,两个城市的总收益为单位:万元.
(1)写出两个城市的总收益万元关于甲城市的投入万元的函数解析式,并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
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【题目】我们学校是一所有着悠久传统文化的学校,我们学校全名叫重庆外国语学校(Chongqing Foreign Language School),又名四川外国语大学附属外国语学校,简称“重外”,1981年,被定为四川省首批办好的重点中学;1997年,被列为重庆市教委首批办好的直属重点中学之一;2001年被国家教育部指定为20%高三学生享有保送资格的全国十三所学校之一,今年我校保送取得了非常辉煌的成绩,目前为止,包括清华大学,北京大学在内目前共保送122名同学,其中北京大学,南开大学,北京外国语大学保送的人数成公差为正数的等差数列,三个学校保送人数之和为24人,三个学校保送学生人数之积为312,则北京外国语大学保送的人数为(以上数据均来自于学校官网)( )
A.10B.11C.13D.14
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【题目】如图,是以为直径的圆上一段圆弧,是以为直径的圆上一段圆弧,是以为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线.则下面说法正确的是( )
A.曲线与轴围成的面积等于
B.与的公切线方程为:
C.所在圆与所在圆的交点弦方程为:
D.用直线截所在的圆,所得的弦长为
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【题目】以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是
B.从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务,则选中一男一女同学的概率为
C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是
D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知直线与圆O:相切.
(1)直线l过点(2,1)且截圆O所得的弦长为,求直线l的方程;
(2)已知直线y=3与圆O交于A,B两点,P是圆上异于A,B的任意一点,且直线AP,BP与y轴相交于M,N点.判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
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【题目】如图,已知椭圆O: 的右焦点为F,点B,C分别是椭圆O的上、下顶点,点P是直线l:y=-2上的一个动点(与y轴交点除外),直线PC交椭圆于另一点M.
(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时,求△FBM的面积;
(2)记直线BM,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.
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【题目】某中学高二年级组织外出参加学业水平考试,出行方式为:乘坐学校定制公交或自行打车前往,大数据分析显示,当的学生选择自行打车,自行打车的平均时间为 (单位:分钟) ,而乘坐定制公交的平均时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当在什么范围内时,乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间?
(2)求该校学生参加考试平均时间的表达式:讨论的单调性,并说明其实际意义.
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