Question

9．直线l₁：y=2x与直线l₂：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，当a，b，c成等差数列时，直线l₁，l₂与y轴围成的三角形的面积S=$\frac{9}{20}$．

Answer 1

分析 直线l₁：y=2x与直线l₂：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，可得2×（-$\frac{a}{b}$）=-1，化为b=2a．当a，b，c成等差数列时，2b=a+c．由ax+by+c=0（abc≠0），令x=0，解得y．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{ax+by+c=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{-c}{a+2b}$．即可直线l₁，l₂与y轴围成的三角形的面积S．

解答 解：直线l₁：y=2x与直线l₂：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，∴2×（-$\frac{a}{b}$）=-1，化为b=2a．
当a，b，c成等差数列时，2b=a+c．
∴b=2a，c=3a．
由ax+by+c=0（abc≠0），令x=0，解得y=-$\frac{c}{b}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{ax+by+c=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{-c}{a+2b}$．
直线l₁，l₂与y轴围成的三角形的面积S=$\frac{1}{2}×|\frac{-c}{a+2b}|$×$|\frac{-c}{b}|$=$\frac{1}{2}×|\frac{9{a}^{2}}{5a×2a}|$=$\frac{9}{20}$．
故答案为：$\frac{9}{20}$．

点评 本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、等差数列的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．