Question

17．已知函数g（x）=x²-2ax，f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-ln（x+1），若存在x₁∈[0，1]，存在x₂∈[1，2]使得f′（x₁）≥g（x₂）成立，则实数a的取值范围是a≥1．

Answer 1

分析 先将问题等价为：f'（x）_min≥g（x）_min，再分别对二次函数和指数函数在相应区间上求最值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：根据任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[1，2]，使f′（x₁）＞g（x₂）成立，
只需满足：f'（x）_min≥g（x）_min，
而f'（x）=x²-$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]时为增函数，
所以，f'（x）_min=f（0）=-1，
g（x）=x²-2ax的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
①若a＜1，则x∈[1，2]时函数单调递增，
所以，g（x）_min=g（1）=1-2a，
因此，-1≥1-2a，
解得a≥1，
故此时不存在满足条件的a值；
②若1≤a≤2，则x∈[1，a]时，函数单调递减，x∈[a，2]时函数单调递增，
所以，g（x）_min=g（a）=-a²，
因此，-1≥-a²，
解得a≤-1，或a≥1，
故此时1≤a≤2；
③若a＞2，则x∈[1，2]时函数单调递减，
所以，g（x）_min=g（2）=4-4a，
因此-1≥4-4a：，
解得a≥$\frac{5}{4}$，
故此时a＞2；
综上可得：a≥1
故答案为：a≥1

点评 本题主要考查了不等式有解和恒成立的综合问题，涉及二次函数和指数函数的单调性和值域，以及导数的运算，属于中档题．