Question

5．数列{a_n}满足${a_{n+1}}=-\frac{1}{{1+{a_n}}}$，a₁=1，记数列{a_n}的前n项和S_n，则S₂₀₁₇=-1007．

Answer 1

分析 依题a₁=1，a₂=-$\frac{1}{2}$，a₃=-2，a₄=1…则{a_n}是周期为3变化的数列，求得S₂₀₁₆，a₂₀₁₇=1，S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇=-1007．

解答 解：依题a₁=1，a₂=-$\frac{1}{2}$，a₃=-2，a₄=1…
∴{a_n}是周期为3变化的数列，且每个周期内的和为1+（-$\frac{1}{2}$）+（-2）=-$\frac{3}{2}$，
又其前2016项包含了672个周期，
则S₂₀₁₆=672×（-$\frac{3}{2}$）=-1008，又a₂₀₁₇=1，
∴S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇=-1008+1=-1007，
故答案为：-1007．

点评 本题考查数列的周期性，考查数列的前n项和的求法，考查计算能力，属于中档题．