Question

10．已知函数$f（x）={cos^2}x+sinx，x∈[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$，则f（x）的最大值与最小值的和为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}+5}}{4}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}+6}}{4}$

Answer 1

分析 x∈$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$，可得sinx∈$[\frac{1}{2}，1]$．f（x）=1-sin²x+sinx=-$（sinx-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{5}{4}$，利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．

解答 解：∵x∈$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$，∴sinx∈$[\frac{1}{2}，1]$．
∴f（x）=1-sin²x+sinx=-$（sinx-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{5}{4}$∈$[1，\frac{5}{4}]$．
∴则f（x）的最大值与最小值的和=$\frac{9}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了二次函数与三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．