Question

15．2017年，嘉积中学即将迎来100周年校庆．为了了解在校同学们对嘉积中学的看法，学校进行了调查，从三个年级任选三个班，同学们对嘉积中学的看法情况如下：

对嘉积中学的看法	非常好，嘉积中学奠定了 我一生成长的起点	很好，我的中学很快乐很充实
A班人数比例	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
B班人数比例	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$
C班人数比例	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

（Ⅰ）从这三个班中各选一个同学，求恰好有2人认为嘉积中学“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；
（Ⅱ）若在B班按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取3人，认为嘉积中学“非常好”的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据相互独立事件的概率计算3位同学恰好有2人认为“非常好”的概率；
（Ⅱ）在B班按照相应比例选取9人，认为“非常好”的有6人，“很好”的有3人，
ξ的可能取值是0，1，2，3，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望．

解答 解：（Ⅰ）记这3位同学恰好有2人认为嘉积中学“非常好”的事件为A，
则$P（A）=\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•（1-\frac{3}{4}）+\frac{1}{2}•（1-\frac{2}{3}）•\frac{3}{4}+（1-\frac{1}{2}）•\frac{2}{3}•\frac{3}{4}=\frac{11}{24}$；          …（5分）
（Ⅱ）在B班按照相应比例选取9人，则
认为嘉积中学“非常好”的应该选取6人，
认为嘉积中学“很好”的应选取3人，
则ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{2}•{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$；
所以ξ的分布列为：

E	0	1	2	3
PC	$\frac{1}{84}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{21}$

则的期望值为：$Eξ=0×\frac{1}{84}+1×\frac{3}{14}+2×\frac{15}{28}+3×\frac{5}{21}=2$（人）．…（12分）

点评 本题考查了相互独立事件的概率以及离散型随机事件的概率问题，是基础题．