Question

10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．
（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及扇形的面积；
（2）若扇形的周长是12cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并且最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）直接利用扇形的弧长、面积公式计算．
（2）设扇形的半径为r，弧长为l，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小．

解答 解：（1）根据题意得：α=60°=$\frac{π}{3}$，l=αR=$\frac{10π}{3}$cm，
S_扇形=$\frac{1}{2}lR$=$\frac{1}{2}×\frac{10π}{3}×10$=$\frac{50}{3}$（cm²）．
（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则
l+2r=12，即l=12-2r（0＜r＜4）．
扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr，将上式代入，
得S=$\frac{1}{2}$（12-2r）r=-r²+6r=-（r-3）²+9，
∴当且仅当r=3时，S有最大值9，
此时l=6，α=2rad．
∴当α=2rad时，扇形的面积取最大值，最大值为9cm²．

点评 本题考查了扇形面积的计算，考查扇形的周长，半径圆心角，面积之间的关系，考查计算能力．