Question

2．如图，在三棱锥A-BCD中，已知，∠BAC=60°，BD=DC=$\sqrt{2}$，AB=AC=AD=2．
（1）求证：BC⊥AD；
（2）求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC中点E，连结AE，DE，可得BC⊥DE，BC⊥AE，即BC⊥面AED，可得BC⊥AD．
（2）可得AE=$\sqrt{A{B}^{2}-E{C}^{2}}=\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-E{C}^{2}}=1$．，在△ADE中，AE²+DE²=AD²，S_△ADE=$\frac{1}{2}×AE×DE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，三棱锥A-BCD的体积V=V_B-ADE+V_C-AED，计算即可

解答 解：取BC中点E，连结AE，DE，
BD=DC，AB=AC，∴BC⊥DE，BC⊥AE，
且AE∩DE=E，∴BC⊥面AED，
又AD?面ADE，∴BC⊥AD．
（2）∵，∠BAC=60°，AB=AC=2，∴BC=2
在△ABC中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-E{C}^{2}}=\sqrt{3}$，
在△DCB中，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-E{C}^{2}}=1$．
在△ADE中，AE²+DE²=AD²，∴AE⊥DE，
S_△ADE=$\frac{1}{2}×AE×DE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
三棱锥A-BCD的体积V=V_B-ADE+V_C-AED=$\frac{1}{3}×{s}_{△ADE}×BC=\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查了空间线线垂直的判定，三棱锥体积的计算，属于中档题．