Question

18．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动．平面区域W由所有满足${A_1}P≤\sqrt{5}$的点P组成，则W的面积是$\frac{π}{4}$；四面体P-A₁BC的体积的最大值是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得平面区域W是以A为圆心，以1为半径的$\frac{1}{4}$圆面，由圆的面积公式求得W的面积；由题意可得，当p在边AD上时，四面体P-A₁BC的体积有最大值，再由棱锥体积公式求解．

解答 解：连接AP，则A₁A⊥AP，
∵A₁A=2，${A}_{1}P=\sqrt{5}$，∴AP=1，
以A为圆心，以1为半径作圆交正方形ABCD所得$\frac{1}{4}$圆，
∴W的面积是$\frac{1}{4}×π×{1}^{2}=\frac{π}{4}$；
由题意可知，当p在边AD上时，四面体P-A₁BC的体积的最大值是$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$；$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．