Question

9．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}8x-y-4≤0\\ x+y+1≥0\\ y-4x≤0\end{array}\right.$，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 5
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 9

Answer 1

分析 先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（1，4）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可

解答 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线8x-y-4=0与y=4x的交点B（1，4）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大2，
即a+4b=2，
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+4b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}$）$≥\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$；
当且仅当a=2b时等号成立；
故选：C．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．