Question

14．A，B，C，D是同一球面上的四个点，△ABC中，$∠BAC=\frac{2π}{3}$，AB=AC，AD⊥平面ABC，AD=6，$AB=2\sqrt{3}$，则该球的表面积为84π．

Answer 1

分析 把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．

解答 解：由题意，设△ABC外接圆的圆心为E，球心为O，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，
AD=6，AB=AC=2$\sqrt{3}$，OE=3，
△ABC中，BC=$\sqrt{12+12-2×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×（-\frac{1}{2}）}$=6，
∴AE=$\frac{1}{2}×\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴球半径AO=$\sqrt{12+9}$=$\sqrt{21}$．
所求球的表面积S=4π（$\sqrt{21}$）²=84π．
故答案为：84π．

点评 本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．