Question

5．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=2B，则$\frac{c}{b}+\frac{2b}{a}$的取值范围为（2，4）．

Answer 1

分析 先根据正弦定理化简整理可得$\frac{c}{b}+\frac{2b}{a}$=4cos²B+$\frac{1}{cosB}$-1，设$cosB=t∈（{\frac{1}{2}，1}）$，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，求出其值域即可．

解答 解：.$\frac{c}{b}+\frac{2b}{a}=\frac{sinC}{sinB}+\frac{2sinB}{sinA}=\frac{sin3B}{sinB}+\frac{2sinB}{sin2B}=\frac{sinBcos2B+cosBsin2B}{sinB}+\frac{1}{cosB}$
=cos2B+2cos²B+$\frac{1}{cosB}=4{cos^2}B+\frac{1}{cosB}$-1．
又2B∈（0，π），且A+B=3B∈（0，π），
所以$B∈（{0，\frac{π}{3}}）$．
设$cosB=t∈（{\frac{1}{2}，1}）$，
令$\frac{c}{b}+\frac{2b}{a}=4{t^2}+\frac{1}{t}$-1=f（t），
则f'（t）=8t-$\frac{1}{t^2}=\frac{{8{t^3}-1}}{t^2}$＞0，
故f（t）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上单调递增，
所以2＜f（t）＜4．
所以$\frac{c}{b}+\frac{2b}{a}$的取值范围为（2，4），
故答案为：（2，4）

点评 本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的运用，同时考查函数的单调性的运用，属于中档题．