Question

9．如图，已知四边形ABCD为正方形，四边形ABEF，四边形DCEF为菱形，且∠AFE=$\frac{π}{3}$，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面MEF；
（Ⅱ）求直线DE与平面MEF所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）由BC⊥AB，AB∥EF可得BC⊥EF，由BE=CE得EM⊥BC，从而得出BC⊥平面MEF；
（II）取DA的中点N，连接MN，NF，则DA⊥平面MEF，故∠DEN为直线DE与平面MEF所成角，设AB=1，利用勾股定理计算EN，得出tan∠DEN．

解答
证明：（I）∵四边形ABCD为正方形，四边形ABEF，四边形DCEF为菱形，
∴AB∥EF，AB⊥BC，BE=EF=CE，
∴BC⊥EF，BC⊥EM，
又EF?平面MEF，EM?平面MEF，EF∩EM=E，
∴BC⊥平面MEF．
解：（II）取DA的中点N，连接MN，NF，
则MN∥AB∥EF，
∴点N∈平面MEF，
∵BC⊥平面MEF，BC∥AD，
∴AD⊥平面MEF，
∴∠DEN为直线DE与平面MEF所成角．
设正方形ABCD的边长AB=1，
∵∠AFE=$\frac{π}{3}$，四边形ABEF是菱形，
∴AE=EF=AB=1，
又AN=DN=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
∴EN=$\sqrt{A{E}^{2}-A{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tan∠DEN=$\frac{DN}{EN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠DEN=$\frac{π}{6}$．
∴直线DE与平面MEF所成角为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算，属于中档题．