Question

14．设函数f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数，在（0，1）上是增函数，若f（a-2）-f（4-a²）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意，将f（a-2）-f（4-a²）＜0变形可得f（a-2）＜f（4-a²），结合函数的奇偶性、单调性分析可得$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a-2＜1}\\{-1＜4-{a}^{2}＜1}\\{|a-2|＜|4-{a}^{2}|}\end{array}\right.$，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，若f（a-2）-f（4-a²）＜0，则有f（a-2）＜f（4-a²），
又由f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数，在（0，1）上是增函数，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a-2＜1}\\{-1＜4-{a}^{2}＜1}\\{|a-2|＜|4-{a}^{2}|}\end{array}\right.$，
解可得$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{5}$且a≠2．
故a的取值范围是{a|$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{5}$且a≠2}．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将f（a-2）-f（4-a²）＜0转化为关于a的不等式．