Question

11．已知当x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，称y=[x]为取整函数，例如[1.2]=1，[-2.3]=-3，若f（x）=[x]，且偶函数g（x）=-（x-1）²+1（x≥0），则方程f（f（x））=g（x）的所有解之和为-3-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由偶函数的性质和条件求出x＜0时对应的g（x），由[x]的意义和偶函数的图象性质，在同一个坐标系中画出f（f（x））和g（x）的函数图象，根据图象分别求出交点的纵坐标，代入g（x）的解析式求对应的横坐标，即可得到答案．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，
∵偶函数g（x）=-（x-1）²+1（x≥0），
∴g（x）=g（-x）=-（-x-1）²+1
=-（x+1）²+1，
由f（x）=[x]得，f（f（x））=[x]，
在同一个坐标系中画出f（f（x））和g（x）的函数图象，如图所示：
由图可得，两个图象有四个交点，交点的纵坐标分为1、0、-3、-4，
当x≥0时，方程f（f（x））=g（x）的解是0和1；
当x＜0时，
令g（x）=-（x+1）²+1=-3，解得x=-3，
令g（x）=-（x+1）²+1=-4，解得x=-1-$\sqrt{5}$，
综上得，f（f（x））=g（x）的解是：
0、1、-3、-1-$\sqrt{5}$，
所有解之和是-3-$\sqrt{5}$，
故答案为：$-3-\sqrt{5}$．

点评 本题考查函数奇偶性的图象与性质，取整函数的图象，以及方程根的转化，考查数形结合思想，转化思想，分析问题、解决问题的能力．