Question

1．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率为双曲线y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1离心率的一半，直线y=x被椭圆E截得的线段长为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A，B两个相异点，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在实数m，使$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由双曲线的离心率求得椭圆的离心率，求得a=2b，将y=x代入椭圆方程，由2×$\sqrt{2}$×$\frac{a\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（2）当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立，当m≠0时求得λ=3，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得k²=$\frac{{m}^{2}-4}{1-{m}^{2}}$，m²≠1，由△＞0，即可求得m的取值范围．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），双曲线双曲线y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1离心率e=$\sqrt{3}$，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a=2b，
将y=x代入椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得：x=±$\frac{a\sqrt{5}}{5}$，
∴2×$\sqrt{2}$×$\frac{a\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，解得：a=2，
∴椭圆E的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
（2）假设存在实数m，使$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$成立，
由题意可得P（0，m），
当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立，
当m≠0时，由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，可得$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$），则$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=（1+λ）$\overrightarrow{OP}$，
∴λ=3，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$，可得x₁=-3x₂  ①
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$，②
由①②可得：m²k²+m²-k²-4=0，则k²=$\frac{{m}^{2}-4}{1-{m}^{2}}$，m²≠1，
由△=（2km）²-4（k²+4）（m²-4）＞0，则k²+4-m²＞0，
∴k²+4-m²=$\frac{{m}^{2}-4}{1-{m}^{2}}$+4-m²=$\frac{（{m}^{2}-4）{m}^{2}}{1-{m}^{2}}$＞0，则1＜m²＜4，
解得：-2＜m＜-1或1＜m＜2，
综上可得：m的取值范围是（-2，-1）∪（1，2）∪{0}．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．