Question

12．已知椭圆 C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线 C₂：x²-y²=4 有相同的右焦点F₂，点P是C₁与C₂的一个公共点，若|PF₂|=2，则椭圆 C₁的离心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 将双曲线方程转化成标准方程，则|PF₂|=2，|PF₁|=6，根据椭圆的定义，即可求得a=4，c=2$\sqrt{2}$，即可求得椭圆 C₁的离心率．

解答 解：由题意，不妨设P在第一象限，双曲线C₂：x²-y²=4可化为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∵|PF₁|-|PF₂|=4，则|PF₁|=6，则c=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，即c=2$\sqrt{2}$，
由椭圆的定义可知：2a=|PF₂|+|PF₂|=8，
∴a=4．
∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-y²=4有相同的右焦点F₂，
∴椭圆C₁的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于基础题．