Question

4．如图在一个60° 的二面角的棱上有两个点A，B，线段分别AC、BD在这个二面 角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且AB=AC=a，BD=2a，则CD 的长为（　　）

• A． 2a
• B． $\sqrt{5}$a
• C． a
• D． $\sqrt{3}$a

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，利用数量积的性质即可得出．

解答 解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AB}$=0，
∵＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$＞=60°，∴＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{BD}$＞=120°．
∵$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{CD}$²=$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{BD}$²+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$
=a²+a²+4a²+0+2×a×2a×cos120°+0
=4a²．
∴|$\overrightarrow{CD}$|=2a．
故选：A．

点评 熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．