Question

9．己知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等．
（I ）求该展开式中所有有理项的项数；
（II）求该展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等，得到n=10，写出二项式的通项公式，再求出有理项，
（Ⅱ）由已知二项式可知展开式由11项，则中间一项的二项式系数最大，由此求得二项式系数最大的项

解答 解：（Ⅰ）∵（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等∴C_n⁴=C_n⁶，
∴n=10，
∴（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）¹⁰的通项为T_r+1=2^rC₁₀^rx${\;}^{5-\frac{5r}{2}}$，
∵5-$\frac{5}{2}$r=5（1-$\frac{1}{2}$r），
分别令r=0，2，4，6，8，10，
∴展开式中所有有理项的项数第1，3，5，7，9，11项
（Ⅱ）二项式共有11项，最中间一项的系数最大，即为第6项
即为2⁶C₁₀⁶x^-10=13440x^-10

点评 本题考查二项式系数的性质，本题解题的关键是正确利用二项式系数的性质，注意和组合数联系，属于中档题