Question

14．已知A，B分别为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，不同两点P，Q在双曲线C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为λ，μ，则当$\frac{16}{λμ}$+λμ取最大值时，双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），则Q（x₀，-y₀），y₀²=b²（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-1）．A（-a，0），B（a，0），利用斜率计算公式得到：λμ=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，运用基本不等式求得最大值，注意等号成立的条件，再由离心率公式即可得出．

解答 解：设P（x₀，y₀），则Q（x₀，-y₀），y₀²=b²（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-1），
即有$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
由双曲线的方程可得A（-a，0），B（a，0），
则λ=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，μ=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
∴λμ=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
$\frac{16}{λμ}$+λμ=-[（-$\frac{16}{λμ}$）+（-λμ）]≤-2$\sqrt{\frac{16}{-λμ}•（-λμ）}$=-8，
当且仅当λμ=-4，即有b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
可得离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查直线的斜率公式，利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．