Question

4．已知向量$\vec a，\vec b，\vec c$是空间的一个单位正交基底，向量$\vec a+\vec b，\vec a-\vec b，\vec c$是空间的另一个基底．若向量$\vec m$在基底$\vec a，\vec b，\vec c$下的坐标为（1，2，3），则$\vec m$在基底$\vec a+\vec b，\vec a-\vec b，\vec c$下的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$，3）．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{m}$=x（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+y（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）+z$\overrightarrow{c}$，根据空间向量基本定理即可建立关于x，y，z的方程，解方程即得x，y，z

解答 解：设$\overrightarrow{m}$=x（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+y（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）+z$\overrightarrow{c}$=（x+y）$\overrightarrow{a}$+（x-y）$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{c}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=2}\\{z=3}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$，z=3，
∴$\vec m$在基底$\vec a+\vec b，\vec a-\vec b，\vec c$下的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$，3）
故答案为：$（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}，3）$

点评 考查基底的概念，空间向量坐标的概念，以空间向量基本定理．