Question

16．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚，例如，某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图1（中心截口示意图）所示，其中，一个反射镜PO₁Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO₂N弧所在的曲线为双曲线的一个分支，已知F₁、F₂是双曲线的两个焦点，其中F₂同时又是抛物线的焦点，O₁也是双曲线的左顶点．若在如图2所示的坐标系下，MO₂N弧所在的曲线方程为标准方程，试根据图示尺寸（单位：cm），写出反射镜PO₁Q弧所在的抛物线方程为y²=920（x+88）．

Answer 1

分析 根据题意，对于双曲线，有$\left\{\begin{array}{l}{c-a=54}\\{2a=176}\end{array}\right.$，求出a，b，c可得双曲线的方程；求出抛物线的顶点的横坐标，可得抛物线的方程．

解答 解：对于双曲线，有$\left\{\begin{array}{l}{c-a=54}\\{2a=176}\end{array}\right.$，∴a=88，c=142，
由题意，$\frac{p}{2}$=142+88=230
∵抛物线的顶点的横坐标是-88，
∴抛物线的方程为y²=920（x+88）．
故答案为y²=920（x+88）．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查双曲线、抛物线的性质，属于中档题．