Question

6．已知函数$f（x）=|2x-a|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|．
（1）若当g（x）≤3时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；
（2）若不等式f（x）-g（x）≥3有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出g（x）≤3，f（x）≤6时的x的范围，得到关于a的不等式，解出即可；
（2）由|2x-a|-|2x-1|+a≤|a-1|+a，得|a-1|+a≥3，解出即可．

解答 解：（1）当g（x）≤3时，|2x-1|≤3，求得-3≤2x-1≤3，即-1≤x≤2．…（2分）
由f（x）≤6可得|2x-a|≤6-a，即a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3…（3分）
根据题意可得，a-3≤-1，求得a≤2，故a的最大值为2．…（5分）
（2）f（x）-g（x）=|2x-a|-|2x-1|+a，
∵||2x-a|-|2x-1||≤|2x-a-2x+1|≤|a-1|，
∴|2x-a|-|2x-1|+a≤|a-1|+a…（7分）
不等式f（x）-g（x）≥3有解，
∴|a-1|+a≥3，…（8分）
即a-1≥3-a或a-1≤a-3
解得：a≥2或空集，
即所求的a的范围是[2，+∞）．…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．