Question

2．已知圆O：x²+y²=9，直线l₁：x=6，圆O与x轴相交于点A，B（如图），点P（-1，2）是圆O内一点，点Q为圆O上任一点（异于点A、B），直线AQ与l₁相交于点C．
（1）若过点P的直线l₂与圆O相交所得弦长等于4$\sqrt{2}$，求直线l₂的方程；
（2）设直线BQ、BC的斜率分别为k_BQ、k_BC，求证：k_BQ•k_BC为定值．

Answer 1

分析 （1）若过点P的直线l₂与圆O相交所得弦长等于4$\sqrt{2}$，圆心O（0，0）到直线的距离$d=\sqrt{9-{{（2\sqrt{2}）}^2}}=1$，分类讨论，求直线l₂的方程；
（2）求出相应直线的斜率，即可证明结论．

解答 （1）解：因直线l₂与圆O相交所得弦长等于4$\sqrt{2}$，所以圆心O（0，0）到直线的距离$d=\sqrt{9-{{（2\sqrt{2}）}^2}}=1$
设直线l₂的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0
由$d=\frac{|k+2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$解得$k=-\frac{3}{4}$
又过点P且与x轴垂直的直线x=-1显然符合要求
所以直线l₂的方程是x=-1或3x+4y-5=0---------（6分）
（2）证明：设点C的坐标为（6，h），则直线AC的方程为$y=\frac{h}{9}（x+3）$
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{h}{9}（x+3）\\{x^2}+{y^2}=9\end{array}\right.⇒\frac{{81+{h^2}}}{h^2}{y^2}-\frac{54}{h}y=0$解得${y_1}=0，{y_2}=\frac{54h}{{81+{h^2}}}$
从而得点$Q（\frac{{243-3{h^2}}}{{81+{h^2}}}，\frac{54h}{{81+{h^2}}}）$，
所以${k_{BQ}}=-\frac{9}{h}，{k_{BC}}=\frac{h}{3}$
所以k_BQ•k_BC=-3----------（12分）

点评 本题考查直线与圆位置关系的运用，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．